Simbiosis en las matemáticas

Antonio Vélez M.

Las matemáticas han sido un campo fecundo para la simbiosis cultural, con resultados creativos espectaculares. El matemático francés Joseph-Louis Lagrange celebró así el matrimonio de la geometría con el álgebra: “Mientras el álgebra y la geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero cuando estas dos ciencias se han unido, han intercambiado sus fuerzas y han avanzado juntas hacia la perfección”. Lo que ocurrió, hoy nos parece natural: la geometría de los griegos hizo simbiosis con el álgebra, gracias a los trabajos de Descartes y Fermat. Como resultado de esa feliz amalgama, surgió el plano cartesiano y su extensión a tres dimensiones, una de las grandes ideas de la cultura humana. Una ecuación de primer grado quedó convertida en una recta, y una de segundo, en una parábola... Y las relaciones de paralelismo y perpendicularidad se convirtieron en simples relaciones algebraicas.

En general, todas las curvas conocidas quedaron representadas en el mundo simbólico del álgebra por ecuaciones variadas. Quedaron convertidas en letras y símbolos matemáticos. Y del mundo infinito de las ecuaciones surgió un mundo también infinito de curvas y superficies, variedad de un tamaño tal, que ningún artista, por imaginativo que fuese, podría haberlo soñado. La geometría se algebrizó y adquirió una potencia nunca antes imaginada. De allí surgieron aplicaciones en todos los campos; en particular, la física encontró su lenguaje natural. Uno de los grandes logros fue la geometrización de la gravedad y la conversión del espacio y el tiempo en un solo ente geométrico, trabajo que inmortalizó a Albert Einstein; otro, la matematización del mundo microscópico por medio de la mecánica cuántica. Y de paso se potenciaron la teoría de probabilidades, la estadística, la economía...

Con la simbiosis matemática surgió un caudal de ideas insospechadas, el pensamiento se amplificó, de tal suerte que se volvieron elementos de la realidad propiedades matemáticas de las gráficas y, en consecuencia, por fuera de la poderosa intuición, esquivas a la más audaz imaginación. Porque nuestra mente está diseñada para pensar y moverse en espacios de una, dos y tres dimensiones, pero al llegar a la cuarta, no nos queda más recurso que refugiarnos en el mundo abstracto de las ecuaciones. En esos espacios es posible manejar geometrías de una extrañeza tal que la razón no alcanza a percibir. Y en ese nuevo mundo podemos movernos con suma comodidad, sin importar el número de dimensiones. No sobra añadir que los espacios de infinitas dimensiones no intimidan a los especialistas; más aún, han servido para descubrir extrañas características del mundo. Una especie de locura, pero sensata y productiva.

Y la simbiosis matemática no terminó allí: las distintas ramas se han ido ensamblando en un solo conjunto cada vez más robusto, más poderoso, cada vez más útil para entender los problemas del mundo real. Se unieron simbióticamente la aritmética, la geometría, el álgebra, el cálculo, el álgebra lineal, la topología, la teoría de la medida... El cálculo vectorial sirvió para representar fuerzas, velocidades y aceleraciones, mientras que el cálculo infinitesimal proporcionó el concepto de límite, una de las ideas más atrevidas y fecundas del pensamiento, del cual surgieron los conceptos de derivada e integral. La geometría de inmediato se apropió de estos resultados: el primero para definir la pendiente de una curva, su curvatura, su concavidad y otras propiedades geométricas; el segundo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes. De la derivada, los físicos sacaron los conceptos de velocidad y aceleración, y de la integral, el concepto de trabajo. Y así, en fértil cascada, el mismo concepto lo tomó la teoría de probabilidades para ampliar su campo. El infinito saltó de la filosofía y al fin se pudo comprender y domesticar: se le dio sentido pleno a una suma de infinitos sumandos (series infinitas), algo que nos suena imposible, y se descubrieron sus paradojas y rarezas. A Albert Einstein alguien le sopló al oído que el reciente descubierto cálculo tensorial era la herramienta apropiada para desarrollar su teoría de la relatividad, y de allí surgió una de las explicaciones del universo más grandiosas que haya podido engendrar el cerebro humano. Grandioso, entonces, también resulta el universo de las matemáticas.